Mk viết nhầm tất cả bỏ căn nhá

Đặt: A=a/(b+c)+b/(c+d)+c/(d+a)+d/(a+b)
. B=b/(b+c)+c/(c+d)+d/(d+a)+a/(a+b)
. C=c/(b+c)+d/(c+d)+a/(d+a)+b/(a+b)
Ta có: B+C=4
Áp dụng Cosôsi và BĐT quen thuộc: 1/x+1/y >= 4/(x+y) với x,y dương ta có:
A+B=(a+b)/(b+c)+(b+c)/(c+d)+
+(c+d)/(d+a)+(d+a)/(a+b) >=4
A+C =(a+c).[1/(b+c)+1/(d+a)] +(b+d).[1/(a+b)+1/(c+d)]
>= 4(a+c)/(b+c+d+a) +4(b+d)/(a+b+c+d)=4
Do đó : 2A+B+C >= 8
Mà B+C=4 nên A >= 2

có thiếu ĐK nào k bạn ?

áp dụng BĐT cauchy :

\(\dfrac{b}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2}+\dfrac{d}{\left(c+\sqrt{d}\right)^2}\ge2\sqrt{\dfrac{bd}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2\left(c+\sqrt{d}\right)^2}}=\dfrac{2\sqrt{bd}}{\left(a+\sqrt{b}\right)\left(c+\sqrt{d}\right)}\)

việc còn lại cần chứng minh \(\left(a+\sqrt{b}\right)\left(c+\sqrt{d}\right)\le2\left(ac+\sqrt{bd}\right)\)(đúng theo BĐT chebyshev)(không mất tính tổng quát giả sừ \(a\le\sqrt{b};c\le\sqrt{d}\))

dấu = xảy ra khi \(a=\sqrt{b};c=\sqrt{d}\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, đặt:

\(\dfrac{a}{A}=\dfrac{b}{B}=\dfrac{c}{C}=\dfrac{d}{D}=\dfrac{a+b+c+d}{A+B+C+D}=k>0\)

\(\Rightarrow a=kA;b=kB;c=kC;d=kD;a+b+c+d=k\left(A+B+C+D\right)\)

Do đó:

\(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{kA^2}+\sqrt{kB^2}+\sqrt{kC^2}+\sqrt{kD^2}\)

\(=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\) (1)

\(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)^2}=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\) (2)

Từ (1);(2) suy ra điều phải c/m

Ta có BĐT phụ \(\dfrac{1+\sqrt{a}}{1-a}\ge4a+1\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{\sqrt{a}\left(2\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{a}-1}\ge0\forall\dfrac{1}{4}< a< 0\)

Tương tự cho 3 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\dfrac{1+\sqrt{b}}{1-b}\ge4b+1;\dfrac{1+\sqrt{c}}{1-c}\ge4c+1;\dfrac{1+\sqrt{d}}{1-d}\ge4d+1\)

Cộng theo vế 4 BĐT trên ta có:

\(VT\ge4\left(a+b+c+d\right)+4=8=VP\)

Xảy ra khi \(a=b=c=d=\dfrac{1}{4}\)

Ta cần chứng minh :

\(\dfrac{1+\sqrt{a}}{1-a}\ge4a+1\) \(\forall a\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)

\(\Leftrightarrow1+\sqrt{a}\ge\left(4a+1\right)\left(1-a\right)\)

\(\Leftrightarrow1+\sqrt{a}\ge4a-4a^2+1-a\)

\(\Leftrightarrow4a^2-4a-1+a+1+\sqrt{a}\ge0\)

\(\Leftrightarrow4a^2-3a+\sqrt{a}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(4a^2-a\right)-\left(2a-\sqrt{a}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2a-\sqrt{a}\right)\left(2a+\sqrt{a}\right)-\left(2a-\sqrt{a}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2a-\sqrt{a}\right)\left(2a+\sqrt{a}-1\right)\ge0\)

Ta có: \(2a-\sqrt{a}=\left(\sqrt{2a}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^2-\dfrac{1}{8}\ge0\) \(\forall a\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)

\(\left(2a+\sqrt{a}-1\right)=\left(\sqrt{2a}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^2-\dfrac{9}{8}\ge0\)

\(\forall a\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)

Vậy: \(\dfrac{1+\sqrt{a}}{1-a}\ge4a+1\) \(\forall a\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)

Tương tự: \(\dfrac{1+\sqrt{b}}{1-b}\ge4b+1\forall b\in\left(0;1\right)\)

\(\dfrac{1+\sqrt{c}}{1-c}\ge4c+1\forall c\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)

\(\dfrac{1+\sqrt{d}}{1-d}\ge4d+1\forall d\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)

Cộng các BĐT vừa chứng minh, ta được:

\(\dfrac{1+\sqrt{a}}{1-a}+\dfrac{1+\sqrt{b}}{1-b}+\dfrac{1+\sqrt{c}}{1-c}+\dfrac{1+\sqrt{d}}{1-d}\ge4\left(a+b+c+d\right)+4=8\)

Vậy: Ta suy ra được điều phải chứng minh